問題149は、2次方程式 $x^2 + 3ax + 2a^2 - a + 3 = 0$ が虚数解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。 問題150は、2次方程式 $x^2 - 2x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ と $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題149は、2次方程式 $x^2 + 3ax + 2a^2 - a + 3 = 0$ が虚数解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

問題150は、2次方程式 $x^2 - 2x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ と $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題149:

2次方程式が虚数解を持つための条件は、判別式 $D < 0$ であることです。

判別式 $D$ を計算します。

$D = (3a)^2 - 4(1)(2a^2 - a + 3)$

$D = 9a^2 - 8a^2 + 4a - 12$

$D = a^2 + 4a - 12$

$D < 0$ となる $a$ の範囲を求めます。

$a^2 + 4a - 12 < 0$

$(a + 6)(a - 2) < 0$

したがって、 $-6 < a < 2$

問題150:

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha \beta = 2$

$\alpha^2 + \beta^2$ を求めます。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0$

$\alpha^3 + \beta^3$ を求めます。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (2)((2)^2 - 3(2)) = 2(4 - 6) = 2(-2) = -4$

3. 最終的な答え

問題149の答え: $-6 < a < 2$

問題150の答え: $\alpha^2 + \beta^2 = 0$, $\alpha^3 + \beta^3 = -4$