与えられた四次方程式 $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた四次方程式 $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

この方程式は、二重平方根の形に変形することで解くことができます。

まず、$x^4 - 6x^2 + 1 = 0$ の両辺を $x^2$ で割ります。（$x=0$は解ではないので、割ってよい）

$x^2 - 6 + \frac{1}{x^2} = 0$

次に、式を整理します。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$

$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 8$

$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 8$

$x + \frac{1}{x} = \pm 2\sqrt{2}$

それぞれのケースについて、$x$ を求めます。

ケース1: $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$

$x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$

$x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2}{2} = \sqrt{2} \pm 1$

ケース2: $x + \frac{1}{x} = -2\sqrt{2}$

$x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0$

$x = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4}}{2} = \frac{-2\sqrt{2} \pm 2}{2} = -\sqrt{2} \pm 1$

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{2} + 1$, $x = \sqrt{2} - 1$, $x = -\sqrt{2} + 1$, $x = -\sqrt{2} - 1$