(1) 多項式 $x^3 + 2x^2 - x - 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x-1$、余りが $4x-3$ となるような多項式 $B$ を求める。 (2) 多項式 $2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $2x-3$、余りが $-2x$ となるような多項式 $B$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $x^3 + 2x^2 - x - 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x-1$、余りが $4x-3$ となるような多項式 $B$ を求める。

(2) 多項式 $2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $2x-3$、余りが $-2x$ となるような多項式 $B$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 割り算の原理より、

$x^3 + 2x^2 - x - 1 = B(x-1) + (4x-3)$

となる。この式を変形して $B$ を求める。

$B(x-1) = x^3 + 2x^2 - x - 1 - (4x - 3)$

$B(x-1) = x^3 + 2x^2 - 5x + 2$

$B = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x + 2}{x-1}$

ここで、多項式 $x^3 + 2x^2 - 5x + 2$ を $x-1$ で割ると、

$x^3 + 2x^2 - 5x + 2 = (x-1)(x^2 + 3x - 2)$

となるので、

$B = x^2 + 3x - 2$

(2) 割り算の原理より、

$2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = B(2x-3) + (-2x)$

となる。この式を変形して $B$ を求める。

$B(2x-3) = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 - (-2x)$

$B(2x-3) = 2x^3 - 7x^2 + 4x + 3$

$B = \frac{2x^3 - 7x^2 + 4x + 3}{2x-3}$

ここで、多項式 $2x^3 - 7x^2 + 4x + 3$ を $2x-3$ で割ると、

$2x^3 - 7x^2 + 4x + 3 = (2x-3)(x^2 - 2x - 1)$

となるので、

$B = x^2 - 2x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $B = x^2 + 3x - 2$

(2) $B = x^2 - 2x - 1$