複素数 $z$ に関する方程式 $z^6 + z^3 + 1 = 0$ の解を極形式で求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $z^6 + z^3 + 1 = 0$ の解を極形式で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$w = z^3$ と置くと、与えられた方程式は $w^2 + w + 1 = 0$ となります。

この二次方程式を解くと、

$w = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

となります。

これは、

$w = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3})$ または $w = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3})$

と表せます。つまり、$w = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ または $w = e^{i\frac{4\pi}{3}}$ となります。

次に、$z^3 = w$ を解きます。

まず、$z^3 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ を解きます。

$z = r e^{i\theta}$ とおくと、$z^3 = r^3 e^{i 3\theta}$ となります。

したがって、$r^3 = 1$ より $r=1$ です。

$3\theta = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ （$k$ は整数）より、$\theta = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$ となります。

$k = 0, 1, 2$ を代入すると、

$\theta = \frac{2\pi}{9}, \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{9}, \frac{2\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{14\pi}{9}$ となります。

よって、$z = e^{i\frac{2\pi}{9}}, e^{i\frac{8\pi}{9}}, e^{i\frac{14\pi}{9}}$ が解となります。

次に、$z^3 = e^{i\frac{4\pi}{3}}$ を解きます。

同様に、$z = r e^{i\theta}$ とおくと、$r=1$ であり、$3\theta = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ （$k$ は整数）より、$\theta = \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$ となります。

$k = 0, 1, 2$ を代入すると、

$\theta = \frac{4\pi}{9}, \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{10\pi}{9}, \frac{4\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{16\pi}{9}$ となります。

よって、$z = e^{i\frac{4\pi}{9}}, e^{i\frac{10\pi}{9}}, e^{i\frac{16\pi}{9}}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$z = e^{i\frac{2\pi}{9}}, e^{i\frac{4\pi}{9}}, e^{i\frac{8\pi}{9}}, e^{i\frac{10\pi}{9}}, e^{i\frac{14\pi}{9}}, e^{i\frac{16\pi}{9}}$