底の変換公式を使って、与えられた対数の式を簡単にせよ、という問題です。具体的には、(3) $\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[3]{125}$, (4) $\log_2 3 \cdot \log_3 2$, (5) $\log_3 5 \cdot \log_5 9$, (6) $\log_4 5 \cdot \log_5 8$ の4つの問題を解きます。

1. 問題の内容

底の変換公式を使って、与えられた対数の式を簡単にせよ、という問題です。具体的には、(3) $\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[3]{125}$, (4) $\log_2 3 \cdot \log_3 2$, (5) $\log_3 5 \cdot \log_5 9$, (6) $\log_4 5 \cdot \log_5 8$ の4つの問題を解きます。

2. 解き方の手順

(3) $\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[3]{125}$

$\sqrt[3]{125} = 5$ であること、また $\frac{1}{5} = 5^{-1}$ であることに注意します。

したがって、

$\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[3]{125} = \log_{5^{-1}} 5 = \frac{\log 5}{\log 5^{-1}} = \frac{\log 5}{-\log 5} = -1$

(4) $\log_2 3 \cdot \log_3 2$

底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を利用します。

例えば、$\log_2 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 2} = \frac{1}{\log_3 2}$ とできます。

したがって、

$\log_2 3 \cdot \log_3 2 = \frac{1}{\log_3 2} \cdot \log_3 2 = 1$

あるいは、直接底の変換公式を用いると、

$\log_2 3 \cdot \log_3 2 = \frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 2}{\log 3} = 1$

(5) $\log_3 5 \cdot \log_5 9$

同様に底の変換公式を用いると、

$\log_3 5 \cdot \log_5 9 = \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 9}{\log 5} = \frac{\log 9}{\log 3} = \frac{\log 3^2}{\log 3} = \frac{2\log 3}{\log 3} = 2$

(6) $\log_4 5 \cdot \log_5 8$

同様に底の変換公式を用いると、

$\log_4 5 \cdot \log_5 8 = \frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 8}{\log 5} = \frac{\log 8}{\log 4} = \frac{\log 2^3}{\log 2^2} = \frac{3\log 2}{2\log 2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(3) -1

(4) 1

(5) 2

(6) 3/2