以下の2つの等式を証明します。 (1) $4a^4 + b^4 = \{a^2 + (a+b)^2\}\{a^2 + (a-b)^2\}$ (2) $(a^2+2b^2)(x^2+2y^2) = (ax+2by)^2 + 2(ay-bx)^2$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の2つの等式を証明します。

(1) $4a^4 + b^4 = \{a^2 + (a+b)^2\}\{a^2 + (a-b)^2\}$

(2) $(a^2+2b^2)(x^2+2y^2) = (ax+2by)^2 + 2(ay-bx)^2$

2. 解き方の手順

(1) $4a^4 + b^4 = \{a^2 + (a+b)^2\}\{a^2 + (a-b)^2\}$ の証明

右辺を展開します。

$\{a^2 + (a+b)^2\}\{a^2 + (a-b)^2\} = \{a^2 + a^2 + 2ab + b^2\}\{a^2 + a^2 - 2ab + b^2\}$

$= \{2a^2 + 2ab + b^2\}\{2a^2 - 2ab + b^2\}$

$= (2a^2 + b^2 + 2ab)(2a^2 + b^2 - 2ab)$

ここで、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の公式を利用します。$A = 2a^2 + b^2$, $B = 2ab$ とすると、

$= (2a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$

$= 4a^4 + 4a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2$

$= 4a^4 + b^4$

これは左辺と等しいので、等式は証明されました。

(2) $(a^2+2b^2)(x^2+2y^2) = (ax+2by)^2 + 2(ay-bx)^2$ の証明

右辺を展開します。

$(ax+2by)^2 + 2(ay-bx)^2 = (a^2x^2 + 4abxy + 4b^2y^2) + 2(a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2)$

$= a^2x^2 + 4abxy + 4b^2y^2 + 2a^2y^2 - 4abxy + 2b^2x^2$

$= a^2x^2 + 2b^2x^2 + 2a^2y^2 + 4b^2y^2$

$= a^2(x^2 + 2y^2) + 2b^2(x^2 + 2y^2)$

$= (a^2 + 2b^2)(x^2 + 2y^2)$

これは左辺と等しいので、等式は証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $4a^4 + b^4 = \{a^2 + (a+b)^2\}\{a^2 + (a-b)^2\}$ は証明されました。

(2) $(a^2+2b^2)(x^2+2y^2) = (ax+2by)^2 + 2(ay-bx)^2$ は証明されました。