放物線 $y = -x^2 + 2x$ を平行移動して、次の放物線に重ねるには、どのように平行移動すればよいか。 (1) $y = -x^2 + 5x - 4$ (2) $y = -x^2 - 2x - 3$

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2x$ を平行移動して、次の放物線に重ねるには、どのように平行移動すればよいか。

(1) $y = -x^2 + 5x - 4$

(2) $y = -x^2 - 2x - 3$

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = -x^2 + 2x$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x - 1)^2 + 1$

よって、頂点は $(1, 1)$ です。

次に、(1)の放物線 $y = -x^2 + 5x - 4$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 5x) - 4 = -(x^2 - 5x + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2) - 4 = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - 4 = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{9}{4}$

よって、頂点は $(\frac{5}{2}, \frac{9}{4})$ です。

(1)の場合、頂点 $(1, 1)$ を頂点 $(\frac{5}{2}, \frac{9}{4})$ に移動させればよいので、

$x$ 軸方向に $\frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$

$y$ 軸方向に $\frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$

平行移動すればよいです。

次に、(2)の放物線 $y = -x^2 - 2x - 3$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + 2x) - 3 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) - 3 = -(x + 1)^2 + 1 - 3 = -(x + 1)^2 - 2$

よって、頂点は $(-1, -2)$ です。

(2)の場合、頂点 $(1, 1)$ を頂点 $(-1, -2)$ に移動させればよいので、

$x$ 軸方向に $-1 - 1 = -2$

$y$ 軸方向に $-2 - 1 = -3$

平行移動すればよいです。

3. 最終的な答え

(1) $x$軸方向に$\frac{3}{2}$, $y$軸方向に$\frac{5}{4}$ 平行移動する。

(2) $x$軸方向に$-2$, $y$軸方向に$-3$ 平行移動する。