$\cos 2\theta + \sqrt{3} \sin \theta - 1 > 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$\cos 2\theta + \sqrt{3} \sin \theta - 1 > 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ を用いて表す。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、不等式は

$1 - 2\sin^2 \theta + \sqrt{3} \sin \theta - 1 > 0$

となる。これを整理すると、

$-2\sin^2 \theta + \sqrt{3} \sin \theta > 0$

$\sin \theta ( -2\sin \theta + \sqrt{3} ) > 0$

$\sin \theta ( 2\sin \theta - \sqrt{3} ) < 0$

したがって、$\sin \theta$ の符号によって場合分けを行う。

(i) $\sin \theta > 0$ のとき、 $2\sin \theta - \sqrt{3} < 0$ である必要があるので、$\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$。

よって、$0 < \sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

$0 < \theta < \pi$において、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ であるから、

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3} < \theta < \pi$

(ii) $\sin \theta < 0$ のとき、 $2\sin \theta - \sqrt{3} > 0$ である必要があるので、$\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$。

これは $\sin \theta < 0$ と $\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を同時に満たす $\theta$ が存在しないので、不適。

$\theta$ の範囲を $0 \leq \theta < 2\pi$ とすると、

$0 \leq \theta < \frac{\pi}{3}$ と $\frac{2\pi}{3} < \theta < \pi$ は条件を満たす。

また、$2\pi \leq \theta < 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ と $2\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} < \theta < 3\pi$ においても条件を満たす。

一般解を求める。

$\sin \theta > 0$ かつ $\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるための条件は、

$2n\pi < \theta < 2n\pi + \frac{\pi}{3}$ または $2n\pi + \frac{2\pi}{3} < \theta < (2n+1)\pi$ ( $n$ は整数)

3. 最終的な答え

$2n\pi < \theta < 2n\pi + \frac{\pi}{3}, \quad 2n\pi + \frac{2\pi}{3} < \theta < (2n+1)\pi$ ( $n$ は整数)