与えられた行列式の値を、指定された指示に従って計算する問題です。具体的には、以下の行列式の値を求めます。 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix} $ 指示には、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算すること、サラスの方法は用いないこと、基本変形の内容を説明すること、などが含まれています。

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を、指定された指示に従って計算する問題です。具体的には、以下の行列式の値を求めます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

指示には、行基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算すること、サラスの方法は用いないこと、基本変形の内容を説明すること、などが含まれています。

2. 解き方の手順

与えられた行列を三角行列に変形するために、行基本変形を行います。

1. 第1行を基準にして、第2行、第3行、第4行の第1列の要素を0にします。

* 第2行に、第1行の-2倍を加えます（第2行 ← 第2行 - 2 × 第1行）。

* 第3行に、第1行を加えます（第3行 ← 第3行 + 第1行）。

* 第4行に、第1行の-3倍を加えます（第4行 ← 第4行 - 3 × 第1行）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 次に、第2行を基準にして、第3行、第4行の第2列の要素を0にします。

* 第3行に、第2行の-5倍を加えます（第3行 ← 第3行 - 5 × 第2行）。

* 第4行に、第2行の-2倍を加えます（第4行 ← 第4行 - 2 × 第2行）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{vmatrix}

$$

3. 最後に、第3行を基準にして、第4行の第3列の要素を0にします。

* 第4行に、第3行の -4/19 倍を加えます（第4行 ← 第4行 - (-4/19) × 第3行）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 - (-4/19) \times (-12)

\end{vmatrix}

$$

$$

= \begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 - \frac{48}{19}

\end{vmatrix}

$$

$$

= \begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & \frac{-76 - 48}{19}

\end{vmatrix}

$$

$$

= \begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -\frac{124}{19}

\end{vmatrix}

$$

三角行列になったので、対角成分を掛け合わせます。

$1 \times 1 \times (-19) \times (-\frac{124}{19}) = 124$

3. 最終的な答え

124