$\cos(2\theta) + 7\cos(\theta) + 4 < 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos(2\theta) + 7\cos(\theta) + 4 < 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos(2\theta)$ を $\cos(\theta)$ で表します。

$\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ なので、不等式は次のようになります。

$2\cos^2(\theta) - 1 + 7\cos(\theta) + 4 < 0$

整理すると、

$2\cos^2(\theta) + 7\cos(\theta) + 3 < 0$

ここで、$x = \cos(\theta)$ と置換すると、

$2x^2 + 7x + 3 < 0$

この二次不等式を解きます。

まず、$2x^2 + 7x + 3 = 0$ となる $x$ を求めます。

これは因数分解できて、

$(2x + 1)(x + 3) = 0$

よって、$x = -\frac{1}{2}, -3$

$2x^2 + 7x + 3 < 0$ を満たす $x$ の範囲は、$-\frac{1}{2}$ と $-3$ の間です。

$-3 < x < -\frac{1}{2}$

ここで、$x = \cos(\theta)$ に戻すと、

$-3 < \cos(\theta) < -\frac{1}{2}$

$\cos(\theta)$ の範囲は $-1 \le \cos(\theta) \le 1$ なので、$-3 < \cos(\theta)$ は常に成り立ちます。

したがって、$\cos(\theta) < -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求めれば良いです。

$\cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\frac{2\pi}{3}$ と $\frac{4\pi}{3}$ です。

$\cos(\theta) < -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、$\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{4\pi}{3}$ です。

一般解を求めると、

$\frac{2\pi}{3} + 2n\pi < \theta < \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ （$n$は整数）

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3} + 2n\pi < \theta < \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$