$\sin 2\theta = \sin \theta$ を満たす $\theta$ を求めます。

1. 問題の内容

$\sin 2\theta = \sin \theta$ を満たす $\theta$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sin 2\theta$ を倍角の公式を用いて変形します。倍角の公式より、

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$

与えられた方程式は、

$2 \sin \theta \cos \theta = \sin \theta$

$\sin \theta$ を左辺に移項すると、

$2 \sin \theta \cos \theta - \sin \theta = 0$

$\sin \theta$ でくくると、

$\sin \theta (2 \cos \theta - 1) = 0$

したがって、$\sin \theta = 0$ または $2 \cos \theta - 1 = 0$ となります。

$\sin \theta = 0$ のとき、$\theta = n\pi$ ($n$ は整数)

$2 \cos \theta - 1 = 0$ のとき、$\cos \theta = \frac{1}{2}$。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi$ ($m$ は整数)

したがって、$\theta = n\pi$, $\theta = \frac{\pi}{3} + 2m\pi$, $\theta = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi$ ($n, m$ は整数) が解となります。

一般解を求める指示がないので、0 <= θ < 2π の範囲の解を示すことにします。

$\theta = 0, \pi$

$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\theta = \frac{5\pi}{3}$は重複しているので、

$\theta = 0, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$