$\cos 2\theta - \sqrt{2}\cos \theta - 1 \le 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos 2\theta - \sqrt{2}\cos \theta - 1 \le 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を用いて、不等式を $\cos \theta$ の式で表します。

$2\cos^2\theta - 1 - \sqrt{2}\cos \theta - 1 \le 0$

整理すると

$2\cos^2\theta - \sqrt{2}\cos \theta - 2 \le 0$

次に、$\cos \theta = t$ とおきます。このとき、$-1 \le t \le 1$ となります。

$2t^2 - \sqrt{2}t - 2 \le 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $2t^2 - \sqrt{2}t - 2 = 0$ の解を求めます。

解の公式より

$t = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2+16}}{4} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{4} = \frac{\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4}$

したがって、$t = \frac{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$ または $t = \frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$2t^2 - \sqrt{2}t - 2 \le 0$ の解は、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le t \le \sqrt{2}$ となります。

ここで、$-1 \le t \le 1$ であることを考慮すると、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le t \le 1$ となります。

$t = \cos \theta$ なので、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos \theta \le 1$ となります。

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi$ です。

$\cos \theta = 1$ となる $\theta$ は、$\theta = 0, 2\pi$ です。

したがって、$0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で、$\frac{3}{4}\pi \le \theta \le \frac{5}{4}\pi$ を満たす$\theta$ と $0 \le \theta < \frac{3}{4}\pi$、$\frac{5}{4}\pi < \theta \le 2\pi$ を満たす $\theta$ が解になります。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}\pi \le \theta \le \frac{5}{4}\pi$