## 11. ベクトル関数

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1. ベクトル関数

11番の問題は、ベクトル関数 $\mathbf{r} = \left(u, v, \frac{e^u + e^{-u}}{2}\right)$ で表される曲面について、以下のものを求める問題です。

(a) $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$

(b) $\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|$

(c) 曲面の面積

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2. 解き方の手順

**(a) $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$**

まず、$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ と $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ を計算します。

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = \left(1, 0, \frac{e^u - e^{-u}}{2}\right)$

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (0, 1, 0)$

次に、これらのクロス積を計算します。

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & \frac{e^u - e^{-u}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \left(-\frac{e^u - e^{-u}}{2}, 0, 1\right)$

**(b) $\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|$**

次に、クロス積の絶対値を計算します。

$\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right| = \sqrt{\left(-\frac{e^u - e^{-u}}{2}\right)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{e^{2u} - 2 + e^{-2u}}{4} + 1} = \sqrt{\frac{e^{2u} + 2 + e^{-2u}}{4}} = \sqrt{\left(\frac{e^u + e^{-u}}{2}\right)^2} = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$

**(c) 曲面の面積**

最後に、曲面の面積を計算します。D: $0 \le u \le 1, 0 \le v \le 2$ なので、面積Sは次の積分で与えられます。

$S = \iint_D \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right| \, du \, dv = \int_0^2 \int_0^1 \frac{e^u + e^{-u}}{2} \, du \, dv$

まず、内側の積分を計算します。

$\int_0^1 \frac{e^u + e^{-u}}{2} \, du = \left[\frac{e^u - e^{-u}}{2}\right]_0^1 = \frac{e^1 - e^{-1}}{2} - \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = \frac{e - e^{-1}}{2}$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^2 \frac{e - e^{-1}}{2} \, dv = \frac{e - e^{-1}}{2} \int_0^2 dv = \frac{e - e^{-1}}{2} [v]_0^2 = \frac{e - e^{-1}}{2} (2 - 0) = e - e^{-1}$

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3. 最終的な答え

(a) $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = \left(-\frac{e^u - e^{-u}}{2}, 0, 1\right)$

(b) $\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right| = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$

(c) 曲面の面積: $e - e^{-1}$