$x > 1$ のとき、$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$ である。このとき、$x + x^{-1}$ と $x - x^{-1}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 1$ のとき、$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$ である。このとき、$x + x^{-1}$ と $x - x^{-1}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$ の両辺を2乗する。

$(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})^2 = 3^2$

$x + 2(x^{\frac{1}{2}})(x^{-\frac{1}{2}}) + x^{-1} = 9$

$x + 2 + x^{-1} = 9$

$x + x^{-1} = 7$

次に、$x - x^{-1}$ の値を求める。$(x - x^{-1})^2$ を計算する。

$(x - x^{-1})^2 = x^2 - 2(x)(x^{-1}) + x^{-2}$

$= x^2 - 2 + x^{-2}$

$= x^2 + 2 + x^{-2} - 4$

$= (x + x^{-1})^2 - 4$

既に $x + x^{-1} = 7$ であることがわかっているので、代入する。

$(x - x^{-1})^2 = 7^2 - 4 = 49 - 4 = 45$

したがって、$x - x^{-1} = \pm \sqrt{45} = \pm 3\sqrt{5}$ である。

ここで、$x > 1$ より $x^{-1} = \frac{1}{x} < 1$ であるから、$x - x^{-1} > 0$ である。

よって、$x - x^{-1} = 3\sqrt{5}$ である。

3. 最終的な答え

$x + x^{-1} = 7$

$x - x^{-1} = 3\sqrt{5}$