2次方程式 $x^2 + 4x + m = 0$ において、一つの解が他の解の3倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 4x + m = 0$ において、一つの解が他の解の3倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

一つの解を $\alpha$ とすると、もう一つの解は $3\alpha$ と表せる。

解と係数の関係より、

$\alpha + 3\alpha = -4$

$\alpha \cdot 3\alpha = m$

$\alpha + 3\alpha = 4\alpha = -4$ より、

$\alpha = -1$

$\alpha \cdot 3\alpha = 3\alpha^2 = m$ に $\alpha = -1$ を代入すると、

$m = 3(-1)^2 = 3(1) = 3$

よって、 $m = 3$

このとき、2次方程式は $x^2 + 4x + 3 = 0$ となる。

$(x+1)(x+3) = 0$ より、解は $x = -1, -3$

したがって、解は $\alpha = -1$, $3\alpha = -3$ である。

3. 最終的な答え

$m = 3$

2つの解は $x = -1, -3$