ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$ と $\vec{b} = (-3, 4)$ が与えられています。ベクトル $t\vec{a} - \vec{b}$ と $t\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直になるような実数 $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$ と $\vec{b} = (-3, 4)$ が与えられています。ベクトル $t\vec{a} - \vec{b}$ と $t\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直になるような実数 $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

2つのベクトルが垂直である条件は、それらの内積が0になることです。したがって、

$(t\vec{a} - \vec{b}) \cdot (t\vec{a} + 2\vec{b}) = 0$

が成り立つ必要があります。

$\vec{a} = (3, 1)$ と $\vec{b} = (-3, 4)$ を代入して、内積を計算します。

$(t(3, 1) - (-3, 4)) \cdot (t(3, 1) + 2(-3, 4)) = 0$

$( (3t+3, t-4) ) \cdot ( (3t-6, t+8) ) = 0$

$(3t+3)(3t-6) + (t-4)(t+8) = 0$

$9t^2 - 18t + 9t - 18 + t^2 + 8t - 4t - 32 = 0$

$10t^2 - 5t - 50 = 0$

$2t^2 - t - 10 = 0$

$(2t - 5)(t + 2) = 0$

したがって、$t = \frac{5}{2}$ または $t = -2$ となります。

3. 最終的な答え

$t = \frac{5}{2}, -2$