与えられた5x5の行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた5x5の行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\

2 & 1 & 3 & 1 & 0 \\

1 & 1 & -2 & 0 & 0

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行基本変形を行います。

まず、4行目から1行目の2倍を引き、5行目から1行目を引きます。

$\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 3 & -1 & -2 \\

0 & 1 & -2 & -1 & -1

\end{vmatrix}$

次に、4行目から2行目を引き、5行目から2行目を引きます。

$\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 3 & -2 & -4 \\

0 & 0 & -2 & -2 & -3

\end{vmatrix}$

次に、4行目から3行目の3倍を引き、5行目に3行目の2倍を加えます。

$\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\

0 & 0 & 0 & -4 & -3

\end{vmatrix}$

最後に、5行目に4行目の4倍を加えます。

$\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\

0 & 0 & 0 & 0 & -19

\end{vmatrix}$

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積で求められます。

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-19) = -19$

3. 最終的な答え

-19