$x = \sqrt{5} - \sqrt{3}$, $y = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ のとき、以下の式の値を求めなさい。 (1) $x^2 - y^2$ (2) $(x+y)(x+4y) - (x-2y)^2$ また、$n$が0から9までの整数のとき、$\sqrt{\frac{n}{2}}$が無理数になる$n$の個数を求めなさい。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} - \sqrt{3}$, $y = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ のとき、以下の式の値を求めなさい。

(1) $x^2 - y^2$

(2) $(x+y)(x+4y) - (x-2y)^2$

また、$n$が0から9までの整数のとき、$\sqrt{\frac{n}{2}}$が無理数になる$n$の個数を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - y^2$ を計算します。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ という因数分解を利用します。

まず、$x+y$ と $x-y$ を計算します。

$x+y = (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 2\sqrt{5}$

$x-y = (\sqrt{5} - \sqrt{3}) - (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$

したがって、

$x^2 - y^2 = (2\sqrt{5})(-2\sqrt{3}) = -4\sqrt{15}$

(2) $(x+y)(x+4y) - (x-2y)^2$ を計算します。

まず、式を展開します。

$(x+y)(x+4y) = x^2 + 4xy + xy + 4y^2 = x^2 + 5xy + 4y^2$

$(x-2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$

したがって、

$(x+y)(x+4y) - (x-2y)^2 = (x^2 + 5xy + 4y^2) - (x^2 - 4xy + 4y^2) = 9xy$

ここで、$xy$を計算します。

$xy = (\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

したがって、

$(x+y)(x+4y) - (x-2y)^2 = 9xy = 9 \times 2 = 18$

次に、$n$が0から9までの整数のとき、$\sqrt{\frac{n}{2}}$が無理数になる$n$の個数を求めます。

$\sqrt{\frac{n}{2}}$が無理数であるためには、$\frac{n}{2}$が平方数でなければよい。

$n$が0から9までの整数なので、$n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$です。

$\frac{n}{2}$の値はそれぞれ、$0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, 4, \frac{9}{2}$です。

$\frac{n}{2}$が平方数となるのは、$0, 1, 4$のときなので、$n=0, 2, 8$です。

したがって、$\sqrt{\frac{n}{2}}$が無理数となるのは、$n=1, 3, 4, 5, 6, 7, 9$のときで、個数は7個です。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - y^2 = -4\sqrt{15}$

(2) $(x+y)(x+4y) - (x-2y)^2 = 18$

$\sqrt{\frac{n}{2}}$が無理数になる$n$の個数は7個。