関数 $y = 2x^2 + 6x + 4$ （ただし $-2 \le x \le 1$）の最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 6x + 4$ （ただし $-2 \le x \le 1$）の最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 6x + 4$

$y = 2(x^2 + 3x) + 4$

$y = 2(x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) + 4$

$y = 2((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 4$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 4$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2}$

したがって、この二次関数の頂点は $(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ です。

定義域 $-2 \le x \le 1$ における最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $-\frac{3}{2} = -1.5$ で、定義域 $-2 \le x \le 1$ に含まれます。

$x = -\frac{3}{2}$ のとき、最小値は $y = -\frac{1}{2}$ です。

次に、定義域の端点における $y$ の値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = 2(-2)^2 + 6(-2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1)^2 + 6(1) + 4 = 2 + 6 + 4 = 12$

したがって、定義域 $-2 \le x \le 1$ における最大値は $12$ ($x = 1$ のとき) であり、最小値は $-\frac{1}{2}$ ($x = -\frac{3}{2}$ のとき) です。

3. 最終的な答え

最大値は $x=1$ のとき、$12$

最小値は $x=-\frac{3}{2}$ のとき、$-\frac{1}{2}$