与えられた対称行列 A, B, C, D の定値性を判定する問題です。各行列の (1,1) 成分、行列式、固有値の符号、2次形式 $x^T A x$, $x^T B x$, $x^T C x$, $x^T D x$ の符号を判断し、それに基づいて行列の定値性を決定します。

1. 問題の内容

与えられた対称行列 A, B, C, D の定値性を判定する問題です。各行列の (1,1) 成分、行列式、固有値の符号、2次形式 $x^T A x$, $x^T B x$, $x^T C x$, $x^T D x$ の符号を判断し、それに基づいて行列の定値性を決定します。

2. 解き方の手順

各行列について、以下の手順で定値性を判断します。

(A)

* (1,1) 成分は -3, 行列式 $|A|$ は 14。

* (1,1) 成分が負で、行列式が正なので、固有値は負と正です。

* 固有値の符号が異符号であるから、Aは不定値です。

* 2次形式 $x^T A x$ の符号は不定値です。

(B)

* (1,1) 成分は 3, 行列式 $|B|$ は 0。

* 行列式が 0 なので、固有値に 0 が含まれます。

* (1,1) 成分が正なので、残りの固有値は正です。よって、半正定値です。

* 2次形式 $x^T B x$ の符号は非負です。

(C)

* (1,1) 成分は 4, 行列式 $|C|$ を計算します。

$|C| = (4)(7) - (-2)(-2) = 28 - 4 = 24$

* (1,1) 成分が正で、行列式も正なので、固有値は両方とも正です。

* 正定値です。

* 2次形式 $x^T C x$ の符号は正です。

(D)

* (1,1) 成分は 8, 行列式 $|D|$ は -12。

* (1,1) 成分が正で、行列式が負なので、固有値は異符号です。

* 不定値です。

* 2次形式 $x^T D x$ の符号は不定値です。

3. 最終的な答え

Aの固有値は異符号であり、Aは不定値です。2次形式x'Axの符号は不定値です。

Bの固有値は零を含み、Bは半正定値です。2次形式x'Bxの符号は非負です。

Cの(1,1)成分は4, |C|は24です。Cの固有値は正であり、Cは正定値です。2次形式x'Cxの符号は正です。

Dの(1,1)成分は8, |D|は-12です。Dの固有値は異符号であり、Dは不定値です。2次形式x'Dxの符号は一定でないです。