与えられた3次式を因数分解し、空欄を埋める問題です。解答の数値は小さい順に記述し、$x$ から引く値を $\alpha, \beta, \gamma$ としたとき、$\alpha \le \beta \le \gamma$ となるようにします。問題は以下の2つです。 (1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ (2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$

1. 問題の内容

与えられた3次式を因数分解し、空欄を埋める問題です。解答の数値は小さい順に記述し、$x$ から引く値を $\alpha, \beta, \gamma$ としたとき、$\alpha \le \beta \le \gamma$ となるようにします。問題は以下の2つです。

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

(2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ の因数分解

まず、$x$ に適当な値を代入して、式が0になるような値を探します。

$x = 1$ を代入すると、$1 - 6 + 11 - 6 = 0$ となるので、$x-1$ を因数に持ちます。

次に、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ を $x-1$ で割ります。

筆算または組み立て除法を使うと、

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$

となります。

さらに、$x^2 - 5x + 6$ を因数分解します。

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

よって、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

(2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$ の因数分解

まず、$x$ に適当な値を代入して、式が0になるような値を探します。

$x = -2$ を代入すると、$-8 + 40 - 62 + 30 = 0$ となるので、$x+2$ を因数に持ちます。

次に、$x^3 + 10x^2 + 31x + 30$ を $x+2$ で割ります。

筆算または組み立て除法を使うと、

$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x+2)(x^2 + 8x + 15)$

となります。

さらに、$x^2 + 8x + 15$ を因数分解します。

$x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$

よって、$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x+2)(x+3)(x+5)$

$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x-(-2))(x-(-3))(x-(-5))$

$\alpha, \beta, \gamma$ は小さい順に並べる必要があるため、

$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x+5)(x+3)(x+2)$

$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x-(-5))(x-(-3))(x-(-2))$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

(2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x+5)(x+3)(x+2)$