与えられた2次式 $4x^2 - 4x - 2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $4x^2 - 4x - 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式全体から共通因数である2をくくり出す。

$4x^2 - 4x - 2 = 2(2x^2 - 2x - 1)$

次に、$2x^2 - 2x - 1$ の部分が因数分解可能かどうかを検討する。

この2次式は整数係数の範囲では因数分解できないため、解の公式を用いて因数を見つけることを試みる。

$2x^2 - 2x - 1 = 0$ を解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解くと、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

したがって、$2x^2 - 2x - 1 = 2(x - \frac{1+\sqrt{3}}{2})(x - \frac{1-\sqrt{3}}{2}) = (2x - 1 - \sqrt{3})(x - \frac{1-\sqrt{3}}{2})$ となる。

しかし、問題文は「因数分解しなさい」という指示であり、通常は整数係数の範囲で因数分解することを意味する。先程述べたように、$2x^2 - 2x - 1$は整数係数の範囲では因数分解できない。

最初の共通因数2をくくり出したところまでが、最も簡単な形となる。

3. 最終的な答え

$2(2x^2 - 2x - 1)$