与えられた3次式を因数分解し、空欄を埋める問題です。係数は整数で、因数分解の結果は $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ の形になり、$\alpha \le \beta \le \gamma$ となるように答えます。

1. 問題の内容

与えられた3次式を因数分解し、空欄を埋める問題です。係数は整数で、因数分解の結果は $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ の形になり、$\alpha \le \beta \le \gamma$ となるように答えます。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ の因数分解

まず、整数解を探します。定数項が -6 なので、$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ のいずれかが解になる可能性があります。

$x=1$ を代入すると、$1 - 6 + 11 - 6 = 0$ となるので、$x=1$ は解の一つです。

したがって、$x-1$ は因数です。

組み立て除法を使って $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ を $x-1$ で割ると、

```

1 | 1 -6 11 -6

| 1 -5 6

----------------

1 -5 6 0

```

商は $x^2 - 5x + 6$ となります。

$x^2 - 5x + 6$ を因数分解すると、$(x - 2)(x - 3)$ となります。

したがって、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ と因数分解できます。

$\alpha \le \beta \le \gamma$ より、$\alpha = 1, \beta = 2, \gamma = 3$ です。

(2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$ の因数分解

定数項は30なので、$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30$ のいずれかが解になる可能性があります。

$x = -2$ を代入すると、$(-2)^3 + 10(-2)^2 + 31(-2) + 30 = -8 + 40 - 62 + 30 = 0$ となるので、$x = -2$ は解の一つです。

したがって、$x + 2$ は因数です。

組み立て除法を使って $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$ を $x + 2$ で割ると、

```

-2 | 1 10 31 30

| -2 -16 -30

----------------

1 8 15 0

```

商は $x^2 + 8x + 15$ となります。

$x^2 + 8x + 15$ を因数分解すると、$(x + 3)(x + 5)$ となります。

したがって、$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x + 2)(x + 3)(x + 5)$ と因数分解できます。

$\alpha \le \beta \le \gamma$ より、$\alpha = -5, \beta = -3, \gamma = -2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$

(2) $(x + 5)(x + 3)(x + 2)$