まず、3つの問題があります。 (210): (1) 2次関数 $y = ax^2 + bx + 3$ が点 $(1,6)$, $(2,5)$ を通るとき、$a,b$ の値を求める。 (2) 放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ の頂点が点 $(3,-1)$ であるとき、$a,b$ の値を求める。 (211): グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ。 (1) 頂点がx軸上にあり、2点$(0,2)$, $(2,2)$ を通る。 (212): (1) $x=-1$ のとき $y=2$をとり、$x=2$ のとき $y=0$となる。

はい、承知しました。問題文を読み取り、解答を作成します。

1. 問題の内容

まず、3つの問題があります。

(210):

(1) 2次関数 $y = ax^2 + bx + 3$ が点 $(1,6)$, $(2,5)$ を通るとき、$a,b$ の値を求める。

(2) 放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ の頂点が点 $(3,-1)$ であるとき、$a,b$ の値を求める。

(211): グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ。

(1) 頂点がx軸上にあり、2点$(0,2)$, $(2,2)$ を通る。

(212):

(1) $x=-1$ のとき $y=2$をとり、$x=2$ のとき $y=0$となる。

2. 解き方の手順

(210):

(1)

点 $(1,6)$ を通るので、$x=1, y=6$ を代入して

$6 = a + b + 3$

$a + b = 3$ ...(1)

点 $(2,5)$ を通るので、$x=2, y=5$ を代入して

$5 = 4a + 2b + 3$

$4a + 2b = 2$

$2a + b = 1$ ...(2)

(2)-(1) より

$2a + b - (a + b) = 1 - 3$

$a = -2$

(1)に代入して

$-2 + b = 3$

$b = 5$

(2)

$y = x^2 - 2ax + b = (x - a)^2 - a^2 + b$

頂点は $(a, -a^2 + b)$ であり、これが $(3, -1)$ に等しいので、

$a = 3$

$-a^2 + b = -1$

$-3^2 + b = -1$

$-9 + b = -1$

$b = 8$

(211):

(1)

頂点が x 軸上にあるので、頂点の y 座標は 0 である。

頂点のx座標を $p$ とすると、求める2次関数は

$y = a(x - p)^2$ とおける。

点 $(0,2)$ を通るので、$x=0, y=2$ を代入して

$2 = a(0 - p)^2$

$2 = ap^2$ ...(1)

点 $(2,2)$ を通るので、$x=2, y=2$ を代入して

$2 = a(2 - p)^2$ ...(2)

(1)=(2) より

$ap^2 = a(2 - p)^2$

$p^2 = (2 - p)^2$

$p^2 = 4 - 4p + p^2$

$0 = 4 - 4p$

$4p = 4$

$p = 1$

(1)に代入して

$2 = a(1)^2$

$a = 2$

よって、$y = 2(x - 1)^2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2$

3. 最終的な答え

(210):

(1) $a = -2$, $b = 5$

(2) $a = 3$, $b = 8$

(211):

(1) $y = 2x^2 - 4x + 2$

(212)

(1)問題文に（２）しかありません。２次関数を求めよ。 $y=2x^2$ のグラフを平行移動したもので、2点 $(-1,0)$, $(0,5)$ を通る。

平行移動したものなので、$y = 2(x-p)^2 + q$ と置ける。

2点 $(-1,0)$, $(0,5)$ を代入して

$0 = 2(-1-p)^2 + q$

$5 = 2(-p)^2 + q$

2つの式からqを消去すると

$2(-1-p)^2 - 5 = 2p^2$

$2(1 + 2p + p^2) -5 = 2p^2$

$2 + 4p + 2p^2 - 5 = 2p^2$

$4p - 3 = 0$

$p = \frac{3}{4}$

$5 = 2(\frac{3}{4})^2 + q$

$5 = 2(\frac{9}{16}) + q$

$5 = \frac{9}{8} + q$

$q = 5 - \frac{9}{8} = \frac{40-9}{8} = \frac{31}{8}$

$y = 2(x-\frac{3}{4})^2 + \frac{31}{8}$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) + \frac{31}{8}$

$y = 2x^2 - 3x + \frac{9}{8} + \frac{31}{8}$

$y = 2x^2 - 3x + \frac{40}{8}$

$y = 2x^2 - 3x + 5$

(212):

(2) $y = 2x^2 - 3x + 5$