まっすぐな道路に面した土地があり、長さ12mのロープを使って長方形ABCDの土地を囲む。長方形ABCDの面積を最大にするためには、ABの長さを何mにすればよいか。ただし、ロープの幅は無視する。

1. 問題の内容

まっすぐな道路に面した土地があり、長さ12mのロープを使って長方形ABCDの土地を囲む。長方形ABCDの面積を最大にするためには、ABの長さを何mにすればよいか。ただし、ロープの幅は無視する。

2. 解き方の手順

ABの長さを $x$ (m)とする。このとき、BCの長さは $12-2x$ (m)となる。なぜなら、ロープの全長は12mで、ABとCDの長さがそれぞれ $x$ (m)だから。

長方形ABCDの面積を $S$ とすると、

$S = x(12-2x) = 12x - 2x^2$

$S$ を最大にする $x$ を求めるために、$S$ を平方完成する。

$S = -2(x^2 - 6x)$

$S = -2(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$S = -2((x-3)^2 - 9)$

$S = -2(x-3)^2 + 18$

$S$ は $x=3$ のとき最大値18をとる。ただし、BCの長さ$12-2x$は正である必要があるため、$12-2x > 0$。

$2x < 12$

$x < 6$

$x=3$ はこの条件を満たしている。

3. 最終的な答え

ABの長さを3mにすればよい。