与えられた数式の値を計算します。数式は $\sqrt{8 - 2\sqrt{18 + \sqrt{32}}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は $\sqrt{8 - 2\sqrt{18 + \sqrt{32}}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{32}$ を簡単にします。

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

次に、$\sqrt{18 + \sqrt{32}}$ を簡単にします。

$\sqrt{18 + \sqrt{32}} = \sqrt{18 + 4\sqrt{2}}$

ここで、$18+4\sqrt{2}$ が $(a+b)^2$ の形にならないか検討します。

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ という形を目指します。

$a^2+b^2 = 18$ かつ $2ab=4\sqrt{2}$ ならば、$ab = 2\sqrt{2}$です。

$a=\sqrt{2}, b=2$とすると、$a^2+b^2 = 2+4=6$となり、$a=4, b=\frac{\sqrt{2}}{2}$とすると、$a^2+b^2=16+\frac{1}{2}=\frac{33}{2}$となり、$a=\sqrt{16}=4$, $b=\sqrt{2/2}=\sqrt{1/2}$

$a=c \sqrt{2}$とすると、$a^2=2c^2$で、$2c^2+b^2=18$, $2ab=4\sqrt{2}$より$ab=2\sqrt{2}$, よって$b = \frac{2\sqrt{2}}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{c\sqrt{2}} = \frac{2}{c}$, $2c^2 + \frac{4}{c^2} = 18$, $c^4+2 = 9c^2$, $c^4 - 9c^2 + 2 = 0$。

$\sqrt{18 + 4\sqrt{2}}$を二重根号の形で表すことを諦めて、$\sqrt{8 - 2\sqrt{18 + 4\sqrt{2}}}$ 全体で考えることにします。

$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$より、$\sqrt{8 - 2\sqrt{18 + \sqrt{32}}} = \sqrt{8 - 2\sqrt{18 + 4\sqrt{2}}}$

$18+4\sqrt{2} = (4+\sqrt{2})^2 = 16+8\sqrt{2}+2 = 18+8\sqrt{2}$ となるわけではないので、$\sqrt{18+4\sqrt{2}}$ は簡単になりません。

近似値を考えます。

$\sqrt{32} \approx 5.656$

$18+\sqrt{32} \approx 23.656$

$\sqrt{18+\sqrt{32}} \approx \sqrt{23.656} \approx 4.86$

$2\sqrt{18+\sqrt{32}} \approx 9.72$

$8-2\sqrt{18+\sqrt{32}} \approx 8-9.72 = -1.72$

$\sqrt{8-2\sqrt{18+\sqrt{32}}}$ は虚数になる。

$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

$\sqrt{18+4\sqrt{2}} = a+b$ (a, bは有理数)となることはない。

$\sqrt{8-2\sqrt{18+\sqrt{32}}} = \sqrt{8-2\sqrt{18+4\sqrt{2}}}$

問題文に誤りがある可能性があります。例えば、$\sqrt{8 - 2\sqrt{18 - \sqrt{32}}}$であれば、

$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$18 - 4\sqrt{2} = (4-\sqrt{2})^2 = 16-8\sqrt{2}+2=18-8\sqrt{2}$にならないので、うまく二重根号を外せない。

$\sqrt{18 - 4\sqrt{2}}$の近似値は$\sqrt{18 - 5.656} = \sqrt{12.344} \approx 3.513$

$\sqrt{8-2(3.513)} = \sqrt{8-7.026} = \sqrt{0.974} \approx 0.987$

問題が $\sqrt{8 - 2\sqrt{18 + \sqrt{32}}}$ である限り、実数解は存在しません。

3. 最終的な答え

実数解なし（虚数解となる）