3次方程式 $x^3 + ax^2 - x + b = 0$ が $x = -2$ と $x = 3$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 - x + b = 0$ が $x = -2$ と $x = 3$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = -2$ と $x = 3$ が解であるから、それぞれ代入して以下の式を得る。

$(-2)^3 + a(-2)^2 - (-2) + b = 0$

$3^3 + a(3)^2 - 3 + b = 0$

整理すると

$-8 + 4a + 2 + b = 0$

$27 + 9a - 3 + b = 0$

したがって、

$4a + b = 6$ ...(1)

$9a + b = -24$ ...(2)

(2) - (1)より

$5a = -30$

$a = -6$

(1)に代入して

$4(-6) + b = 6$

$-24 + b = 6$

$b = 30$

したがって、方程式は

$x^3 - 6x^2 - x + 30 = 0$

解が $-2$ と $3$ であるから、$(x+2)$ と $(x-3)$ を因数に持つ。

$(x+2)(x-3) = x^2 -x -6$

$x^3 - 6x^2 - x + 30$ を $x^2 - x - 6$ で割ると

$x^3 - 6x^2 - x + 30 = (x^2 - x - 6)(x - 5)$

よって、$x^3 - 6x^2 - x + 30 = (x+2)(x-3)(x-5) = 0$

他の解は $x = 5$

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 30$

他の解: $5$