$x = 1 + \sqrt{3}$ 、 $y = 1 - \sqrt{3}$ のとき、 $x^2 - y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = 1 + \sqrt{3}$ 、 $y = 1 - \sqrt{3}$ のとき、 $x^2 - y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 - y^2$ を因数分解すると、 $(x+y)(x-y)$ となります。

$x$ と $y$ の値を代入して、 $x+y$ と $x-y$ を計算します。

$x + y = (1 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} = 2$

$x - y = (1 + \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

したがって、

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = (2)(2\sqrt{3})$

$x^2 - y^2 = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{3}$