与えられた式 $\sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 4$ を計算し、簡略化すること。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 4$ を計算し、簡略化すること。

2. 解き方の手順

まず、各シグマの和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 4 = 4n$

これらの結果を元の式に代入します。

$5 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 4 = 5 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + 4n$

次に、式を簡略化します。

$\frac{5}{2}n(n+1) + 4n = \frac{5}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 4n = \frac{5}{2}n^2 + \frac{13}{2}n = \frac{1}{2}n(5n + 13)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}n(5n+13)$