3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ が $-3 + i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めなさい。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ が $-3 + i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めなさい。

2. 解き方の手順

* 複素数解の性質：係数が実数である3次方程式が複素数 $p + qi$ ($p, q$ は実数、$q \neq 0$) を解に持つとき、$p - qi$ も解に持つ。したがって、$-3 - i$ もこの方程式の解である。

* 解と係数の関係：3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、以下の関係が成り立つ。

* $\alpha + \beta + \gamma = -a$

* $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$

* $\alpha\beta\gamma = -c$

この問題では、3つの解を $-3 + i, -3 - i, \gamma$ とおくと、解と係数の関係から、

* $(-3 + i) + (-3 - i) + \gamma = -a$

* $(-3 + i)(-3 - i) + (-3 - i)\gamma + (-3 + i)\gamma = b$

* $(-3 + i)(-3 - i)\gamma = 10$

まず、$\gamma$ を求める。

$(-3 + i)(-3 - i) = (-3)^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10$ であるから、

$10\gamma = 10$

$\gamma = 1$

次に、$a$ を求める。

$(-3 + i) + (-3 - i) + 1 = -a$

$-6 + 1 = -a$

$-5 = -a$

$a = 5$

最後に、$b$ を求める。

$(-3 + i)(-3 - i) + (-3 - i)(1) + (-3 + i)(1) = b$

$10 + (-3 - i) + (-3 + i) = b$

$10 - 6 = b$

$b = 4$

3. 最終的な答え

$a = 5$, $b = 4$, 他の解：$1$