問題は、次の3つの和を求めることです。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$ (3) $\sum_{k=1}^{n-1} 4k$

1. 問題の内容

問題は、次の3つの和を求めることです。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} 4k$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を用いると、

$2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + n + n = n^2 + 2n = n(n+2)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k-5) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - 5 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を用いると、

$3 \sum_{k=1}^{n} k - 5 \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 5n = \frac{3n(n+1) - 10n}{2} = \frac{3n^2 + 3n - 10n}{2} = \frac{3n^2 - 7n}{2} = \frac{n(3n-7)}{2}$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} 4k$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} 4k = 4 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ を用いると、

$4 \sum_{k=1}^{n-1} k = 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 2n(n-1) = 2n^2 - 2n$

3. 最終的な答え

(1) $n(n+2)$

(2) $\frac{n(3n-7)}{2}$

(3) $2n(n-1)$