与えられた3つの式を展開し、整理する問題です。 (1) $(2x+3y)^3 + (2x-3y)^3$ (2) $(a^2+3a+9)(a^2-3a+9)$ (3) $(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を展開し、整理する問題です。

(1) $(2x+3y)^3 + (2x-3y)^3$

(2) $(a^2+3a+9)(a^2-3a+9)$

(3) $(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)$

2. 解き方の手順

(1) $(2x+3y)^3 + (2x-3y)^3$ の展開

和の3乗と差の3乗の公式を利用します。

$(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

$(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

$A=2x$, $B=3y$ とすると、

$(2x+3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3 = 8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$

$(2x-3y)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 - (3y)^3 = 8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3$

よって、

$(2x+3y)^3 + (2x-3y)^3 = (8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3) + (8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3)$

$= 16x^3 + 108xy^2$

(2) $(a^2+3a+9)(a^2-3a+9)$ の展開

$(a^2+9)$ を共通項と見て、和と差の積の公式を利用します。

$(X+3a)(X-3a) = X^2 - (3a)^2$

$X=a^2+9$ とすると、

$(a^2+3a+9)(a^2-3a+9) = ((a^2+9)+3a)((a^2+9)-3a) = (a^2+9)^2 - (3a)^2$

$= (a^4 + 18a^2 + 81) - 9a^2 = a^4 + 9a^2 + 81$

(3) $(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)$ の展開

適切な組み合わせで展開します。

$(x-4)(x+3) = x^2 -x -12$

$(x-2)(x+1) = x^2 -x -2$

$(x-4)(x-2)(x+1)(x+3) = (x^2 -x -12)(x^2 -x -2)$

$A = x^2 -x$ とすると、

$(A-12)(A-2) = A^2 - 14A + 24 = (x^2-x)^2 - 14(x^2-x) + 24$

$= x^4 - 2x^3 + x^2 - 14x^2 + 14x + 24 = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$

3. 最終的な答え

(1) $16x^3 + 108xy^2$

(2) $a^4 + 9a^2 + 81$

(3) $x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$