$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4)$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4)$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4) = \sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 4$

次に、定数倍の性質を利用して、$\sum_{k=1}^{n} 5k$ を $5\sum_{k=1}^{n} k$ に変形します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4) = 5\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 4$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} 4 = 4n$ を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4) = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

最後に、式を整理します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4) = \frac{5n(n+1)}{2} + 4n = \frac{5n^2 + 5n}{2} + \frac{8n}{2} = \frac{5n^2 + 13n}{2}$

$\frac{5n^2 + 13n}{2} = \frac{n(5n + 13)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(5n+13)}{2}$