不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式を解きます。

$3(x-1) < 2(x+a)$

$3x - 3 < 2x + 2a$

$3x - 2x < 2a + 3$

$x < 2a + 3$

$x$ は不等式 $x < 2a + 3$ を満たす最大の整数で、その値は $3$ です。

これはつまり、$x$ が $3$ 以下の最大の整数であり、$2a+3$ は $3$ より大きい必要があります。

したがって、$3 < 2a + 3 \le 4$ という不等式が成り立ちます。

次に、$3 < 2a + 3 \le 4$ を解きます。

まず、$3 < 2a + 3$ より、

$0 < 2a$

$0 < a$

次に、$2a + 3 \le 4$ より、

$2a \le 1$

$a \le \frac{1}{2}$

したがって、$0 < a \le \frac{1}{2}$ が求める $a$ の範囲です。

3. 最終的な答え

$0 < a \le \frac{1}{2}$