与えられた2次式 $3x^2 + 6x + 6$ を複素数の範囲で因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $3x^2 + 6x + 6$ を複素数の範囲で因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次式を3でくくります。

$3x^2 + 6x + 6 = 3(x^2 + 2x + 2)$

次に、括弧の中の2次式 $x^2 + 2x + 2$ の解を求めます。

解の公式を使うと、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=1, b=2, c=2$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$

したがって、$x^2 + 2x + 2$ の解は $x = -1 + i$ と $x = -1 - i$ です。

よって、$x^2 + 2x + 2$ は $(x - (-1 + i))(x - (-1 - i)) = (x + 1 - i)(x + 1 + i)$ と因数分解できます。

元の式に戻すと、

$3x^2 + 6x + 6 = 3(x^2 + 2x + 2) = 3(x + 1 - i)(x + 1 + i)$

3. 最終的な答え

$3(x + 1 - i)(x + 1 + i)$