与えられた2次式 $2x^2 - 12x + 26$ を複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $2x^2 - 12x + 26$ を複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次式を2でくくります。

$2x^2 - 12x + 26 = 2(x^2 - 6x + 13)$

次に、$x^2 - 6x + 13$ を平方完成します。

$x^2 - 6x + 13 = (x^2 - 6x + 9) + 4 = (x - 3)^2 + 4$

したがって、$2(x^2 - 6x + 13) = 2((x-3)^2 + 4)$

ここで、$(x-3)^2 + 4 = 0$ となる $x$ を求めます。

$(x-3)^2 = -4$

$x-3 = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$

$x = 3 \pm 2i$

よって、$x = 3+2i$ と $x = 3-2i$ が解となります。

$x - (3+2i)$ と $x - (3-2i)$ が因数となるので、

$(x - (3+2i))(x - (3-2i)) = (x - 3 - 2i)(x - 3 + 2i) = ((x-3) - 2i)((x-3) + 2i) = (x-3)^2 - (2i)^2 = (x-3)^2 - (-4) = (x-3)^2 + 4 = x^2 - 6x + 9 + 4 = x^2 - 6x + 13$

したがって、$2x^2 - 12x + 26 = 2(x - (3+2i))(x - (3-2i))$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$2(x - (3+2i))(x - (3-2i))$

または

$2(x - 3 - 2i)(x - 3 + 2i)$