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$x=1$ のとき最小値 $-2$ をとり、$f(-1) = 2$ であるような2次関数 $y=f(x)$ を求める。

代数学二次関数最小値二次関数の決定
2025/6/24

1. 問題の内容

x=1x=1 のとき最小値 −2-2 をとり、f(−1)=2f(-1) = 2 であるような2次関数 y=f(x)y=f(x) を求める。

2. 解き方の手順

2次関数 f(x)f(x) は、x=1x=1 で最小値 −2-2 をとるので、
f(x)=a(x−1)2−2f(x) = a(x-1)^2 - 2 と表せる (a>0a > 0)。
f(−1)=2f(-1) = 2 という条件から、aa の値を求める。
f(−1)=a(−1−1)2−2=a(−2)2−2=4a−2=2f(-1) = a(-1-1)^2 - 2 = a(-2)^2 - 2 = 4a - 2 = 2
よって、 4a=44a = 4 より、a=1a=1
したがって、f(x)=(x−1)2−2=x2−2x+1−2=x2−2x−1f(x) = (x-1)^2 - 2 = x^2 - 2x + 1 - 2 = x^2 - 2x - 1

3. 最終的な答え

f(x)=x2−2x−1f(x) = x^2 - 2x - 1

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