問題は2つあります。 (3) $yz^2 - y^2z + 2xyz - xy^2 + x^2y - x^2z - xz^2$ を因数分解すること。 (4) $x^4 - 18x^2 + 1$ を因数分解すること。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(3) $yz^2 - y^2z + 2xyz - xy^2 + x^2y - x^2z - xz^2$ を因数分解すること。

(4) $x^4 - 18x^2 + 1$ を因数分解すること。

2. 解き方の手順

(3)

まず、式を整理します。

$yz^2 - y^2z + 2xyz - xy^2 + x^2y - x^2z - xz^2$

この式は3つの変数x, y, zを含んでいるので、いずれかの変数に着目して整理します。ここではxに着目して整理してみましょう。

$x^2(y - z) + x(2yz - y^2 - z^2) + yz(z - y)$

$x^2(y - z) - x(y^2 - 2yz + z^2) + yz(z - y)$

$x^2(y - z) - x(y - z)^2 - yz(y - z)$

$(y - z)[x^2 - x(y - z) - yz]$

$(y - z)[x^2 - xy + xz - yz]$

$(y - z)[x(x - y) + z(x - y)]$

$(y - z)(x - y)(x + z)$

$-(y - z)(y - x)(x + z)$

$(z - y)(y - x)(x + z)$

$(x + z)(y - x)(z - y)$

(4)

$x^4 - 18x^2 + 1$

この式を平方完成の形に変形します。

$x^4 - 18x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 20x^2 = (x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{5}x)^2$

したがって、$x^4 - 18x^2 + 1 = (x^2 + 2\sqrt{5}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{5}x + 1)$

または

$x^4 - 18x^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) - 16x^2 = (x^2 - 1)^2 - (4x)^2$

$x^4 - 18x^2 + 1 = (x^2 - 4x - 1)(x^2 + 4x - 1)$

3. 最終的な答え

(3) $(x + z)(y - x)(z - y)$

(4) $(x^2 - 4x - 1)(x^2 + 4x - 1)$

または

(4) $(x^2 + 2\sqrt{5}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{5}x + 1)$