与えられた数列の和を求める問題です。 $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。

$1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の一般項を求めます。数列は奇数の二乗の和なので、一般項は $(2k-1)^2$ と表せます。したがって、求める和は$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$となります。

次に、この和を計算します。

$$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1)$$

$$= 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$$

ここで、以下の公式を使用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$$= 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$$

$$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$$

$$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3}$$

$$= \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3)}{3}$$

$$= \frac{n(2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 3)}{3}$$

$$= \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3)}{3}$$

$$= \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$$

$$= \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

または

$\frac{4n^3 - n}{3}$