YOKOHAMAの8文字を横1列に並べて順列を作るとき、以下の数を求めます。 (1) 順列の総数 (2) AAとOOという並びをともに含む順列の数 (3) Y, K, H, Mがこの順に並ぶ順列の数

1. 問題の内容

YOKOHAMAの8文字を横1列に並べて順列を作るとき、以下の数を求めます。

(1) 順列の総数

(2) AAとOOという並びをともに含む順列の数

(3) Y, K, H, Mがこの順に並ぶ順列の数

2. 解き方の手順

(1) 順列の総数

YOKOHAMAの8文字には、Aが2つ、Oが2つ含まれています。したがって、順列の総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算します。

全体の文字数は8なので、8!で並べ方の場合の数を計算します。

ただし、Aが2つ、Oが2つあるので、それぞれの重複分を割る必要があります。

したがって、順列の総数は

$\frac{8!}{2!2!}$

で計算できます。

(2) AAとOOという並びをともに含む順列の数

AAとOOをそれぞれ一つのまとまりとして考えます。すると、AA, OO, Y, K, H, Mの6つの要素を並べることになります。したがって、並べ方の総数は6!です。

(3) Y, K, H, Mがこの順に並ぶ順列の数

Y, K, H, Mをすべて同じ文字(例えば*)とみなします。すると、*, *, *, A, A, O, O, という8文字を並べることになります。これらの文字を並べる順列の総数は$\frac{8!}{3!2!2!}$通りです。

この並べ方の中で、3つの*を左からY,K,H,Mに置き換えることで、Y,K,H,Mがこの順に並ぶ順列を求めることができます。

したがって、順列の数は

$\frac{8!}{2!2!4!}$

で計算できます。

3. 最終的な答え

(1) 順列の総数:

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$ 通り

(2) AAとOOという並びをともに含む順列の数:

$6! = 720$ 通り

(3) Y, K, H, Mがこの順に並ぶ順列の数:

$\frac{8!}{2!2!4!} = \frac{40320}{2 \cdot 2 \cdot 24} = \frac{40320}{96} = 420$ 通り