* 売り値を基準の250円から $x$ 円変更するとします。 つまり、1個あたりの売り値は $250 + x$ 円です。 * 売上個数は、$600 - 15x$ 個となります。（$x$ がプラスだと値下げなので売れる個数が増加し、$x$がマイナスだと値上げなので売れる個数が減少する） * 仕入れ個数も$600 - 15x$個です。（その日のうちに完売させるため。） * 1日の利益を $P$ とします。

## 問題の概要

ある商品を1個200円で仕入れ、売り値を設定して販売します。

* 基準として、売り値を250円にすると1日に600個売れます。

* 売り値を1円下げるごとに、売上個数は15個増加します。

* 売り値を1円上げるごとに、売上個数は15個減少します。

仕入れた商品をその日のうちに完売させると仮定したとき、1日の利益を最大にする仕入れ個数と、その際の1個あたりの売り値を求める問題です。

## 解き方の手順

1. **変数の定義:**

* 売り値を基準の250円から $x$ 円変更するとします。 つまり、1個あたりの売り値は $250 + x$ 円です。

* 売上個数は、$600 - 15x$ 個となります。（$x$ がプラスだと値下げなので売れる個数が増加し、$x$がマイナスだと値上げなので売れる個数が減少する）

* 仕入れ個数も$600 - 15x$個です。（その日のうちに完売させるため。）

* 1日の利益を $P$ とします。

2. **利益の式を立てる:**

利益は、（売上金額）－（仕入れ金額）で計算されます。

* 売上金額は（1個あたりの売り値）×（売上個数）なので、 $(250 + x)(600 - 15x)$ 円です。

* 仕入れ金額は（1個あたりの仕入れ値）×（仕入れ個数）なので、$200(600 - 15x)$ 円です。

したがって、利益 $P$ は次のようになります。

$P = (250 + x)(600 - 15x) - 200(600 - 15x)$

3. **利益の式を整理する:**

上記の式を展開して整理します。

$P = 150000 - 3750x + 600x - 15x^2 - 120000 + 3000x$

$P = -15x^2 - 150x + 30000$

4. **利益を最大にする $x$ の値を求める:**

利益 $P$ は $x$ の2次関数なので、グラフは上に凸な放物線になります。 したがって、頂点の $x$ 座標が利益を最大にする $x$ の値です。

頂点の $x$ 座標は、平方完成して求めます。

$P = -15(x^2 + 10x) + 30000$

$P = -15(x^2 + 10x + 25 - 25) + 30000$

$P = -15(x + 5)^2 + 375 + 30000$

$P = -15(x + 5)^2 + 30375$

よって、頂点の $x$ 座標は $x = -5$ です。

5. **仕入れ個数と売り値を求める:**

* 仕入れ個数: $600 - 15x = 600 - 15(-5) = 600 + 75 = 675$ 個

* 売り値: $250 + x = 250 + (-5) = 245$ 円

## 最終的な答え

1日の利益を最大にする仕入れ個数は 675 個であり、その際の1個あたりの売り値は 245 円です。