与えられた12個の行列式を計算する問題です。ただし、$\theta$と$\phi$は実数です。

1. 問題の内容

与えられた12個の行列式を計算する問題です。ただし、$\theta$と$\phi$は実数です。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列なので、$ad - bc$ で計算します。

$(-5)(7) - (8)(-6) = -35 + 48 = 13$

(2) 3x3行列なので、サラスの公式を使うか、余因子展開を行います。サラスの公式を用いると

$(-1)(3)(5) + (1)(1)(1) + (0)(2)(0) - (0)(3)(1) - (-1)(1)(0) - (1)(2)(5) = -15 + 1 + 0 - 0 - 0 - 10 = -24$

(3) 3x3行列です。サラスの公式を用いると、

$(1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) - (3)(5)(7) - (1)(6)(8) - (2)(4)(9) = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 225 - 225 = 0$

あるいは、第2行から第1行を引くと第2行は (3,3,3) になり、第3行から第1行を引くと第3行は (6,6,6) になります。したがって、第2行と第3行は線形従属なので、行列式は0です。

(4) 2x2行列なので、$ad - bc$ で計算します。

$(-1)(4) - (-2)(3) = -4 + 6 = 2$

(5) 2x2行列なので、$ad - bc$ で計算します。

$(3)(-2) - (4)(-1) = -6 + 4 = -2$

(6) 2x2行列なので、$ad - bc$ で計算します。

$(\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

(7) 3x3行列です。第1列に注目し、第1列を $a, b, c$ とおき、第2列を $d, e, f$ とおき、第3列を $g, h, i$ とおきます。$a = -11, b = -17, c = -28, d = 2, e = 5, f = 8, g = 3, h = 6, i = 10$です。

サラスの公式を用いると

$(-11)(5)(10) + (2)(6)(-28) + (3)(-17)(8) - (3)(5)(-28) - (-11)(6)(8) - (2)(-17)(10) = -550 - 336 - 408 + 420 + 528 + 340 = -1294 + 1288 = -6$

(8) 3x3行列です。

サラスの公式を用いると

$(-11)(6)(8) + (3)(5)(-28) + (2)(-17)(10) - (2)(6)(-28) - (-11)(5)(10) - (3)(-17)(8) = -528 - 420 - 340 + 336 + 550 + 408 = -1288 + 1294 = 6$

(9) 3x3行列です。

サラスの公式を用いると

$(-28)(2)(6) + (8)(3)(-17) + (10)(-11)(5) - (10)(2)(-17) - (-28)(3)(5) - (8)(-11)(6) = -336 - 408 - 550 + 340 + 420 + 528 = -1294 + 1288 = -6$

(10) 第2行と第3行が等しいので、行列式は0です。

あるいは、サラスの公式を用いると

$(1)(5)(7) + (2)(7)(4) + (3)(4)(5) - (3)(5)(4) - (1)(7)(5) - (2)(4)(7) = 35 + 56 + 60 - 60 - 35 - 56 = 0$

(11) 第1列に注目し、第1列を $a, b, c$ とおき、第2列を $d, e, f$ とおき、第3列を $g, h, i$ とおきます。$a = 10, b = 4, c = 104, d = 20, e = 5, f = 205, g = 30, h = 7, i = 307$です。

サラスの公式を用いると

$(10)(5)(307) + (20)(7)(104) + (30)(4)(205) - (30)(5)(104) - (10)(7)(205) - (20)(4)(307) = 15350 + 14560 + 24600 - 15600 - 14350 - 24560 = (15350 - 14350) + (14560 - 24560) + (24600 - 15600) = 1000 - 10000 + 9000 = 0$

あるいは、第1行を10で割ると(1,2,3)。したがって、第1行は(10,20,30) = 10x(1,2,3)。

よって、行の線形結合として表せるので行列式は0。

(12)

$\begin{vmatrix} \sin \theta & -\cos \theta & 0 \\ \cos \theta \sin \phi & \sin \theta \sin \phi & -\cos \phi \\ \cos \theta \cos \phi & \sin \theta \cos \phi & \sin \phi \end{vmatrix}$

第1行について余因子展開を行うと

$\sin \theta \begin{vmatrix} \sin \theta \sin \phi & -\cos \phi \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \phi \end{vmatrix} - (-\cos \theta) \begin{vmatrix} \cos \theta \sin \phi & -\cos \phi \\ \cos \theta \cos \phi & \sin \phi \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} \cos \theta \sin \phi & \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \cos \phi & \sin \theta \cos \phi \end{vmatrix}$

$= \sin \theta (\sin \theta \sin^2 \phi + \cos \phi \sin \theta \cos \phi) + \cos \theta (\cos \theta \sin \phi \sin \phi + \cos \phi \cos \theta \cos \phi)$

$= \sin^2 \theta \sin^2 \phi + \sin^2 \theta \cos^2 \phi + \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \cos^2 \theta \cos^2 \phi$

$= \sin^2 \theta (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) + \cos^2 \theta (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi)$

$= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

3. 最終的な答え

(1) 13

(2) -24

(3) 0

(4) 2

(5) -2

(6) 1

(7) -6

(8) 6

(9) -6

(10) 0

(11) 0

(12) 1