2次関数 $y = kx^2 + 4kx + k^2$ の値域が $y \le 2$ であるとき、定数 $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = kx^2 + 4kx + k^2$ の値域が $y \le 2$ であるとき、定数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = kx^2 + 4kx + k^2 = k(x^2 + 4x) + k^2$

$y = k(x^2 + 4x + 4 - 4) + k^2 = k(x + 2)^2 - 4k + k^2$

$y = k(x + 2)^2 + k^2 - 4k$

2次関数の値域が $y \le 2$ であることから、以下の2つの条件が考えられます。

(i) $k < 0$ のとき、上に凸のグラフとなり、頂点の $y$ 座標が最大値となります。したがって、$k^2 - 4k = 2$ となります。

$k^2 - 4k - 2 = 0$

これを解の公式で解くと、

$k = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$k < 0$ であるため、$k = 2 - \sqrt{6}$ となります。

(ii) $k = 0$ のとき、$y = 0$ となり、$y \le 2$ を満たします。したがって、$k = 0$ は解の1つです。

(iii) $k>0$のとき、下に凸のグラフとなるため、値域が$y \le 2$となることはありません。

したがって、(i)と(ii)より、$k = 2 - \sqrt{6}$ または $k = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$k = 2 - \sqrt{6}, 0$