与えられた12個の行列式を計算する問題です。$\theta$と$\phi$は実数です。

1. 問題の内容

与えられた12個の行列式を計算する問題です。$\theta$と$\phi$は実数です。

2. 解き方の手順

各行列式を計算します。

(1) $\begin{vmatrix} -5 & 8 \\ -6 & 7 \end{vmatrix} = (-5)(7) - (8)(-6) = -35 + 48 = 13$

(2) $\begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix} = -1\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1(15-0) - 1(10-1) + 0 = -15 - 9 = -24$

(3) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32-35) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0$

(第3行 - 第2行 = 第2行 - 第1行なので、行列式は0)

(4) $\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (-2)(3) = -4 + 6 = 2$

(5) $\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = (3)(-2) - (4)(-1) = -6 + 4 = -2$

(6) $\begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix} = \cos^2\theta - (-\sin\theta)(\sin\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

(7) $\begin{vmatrix} -11 & 2 & 3 \\ -17 & 5 & 6 \\ -28 & 8 & 10 \end{vmatrix} = -11(50-48) - 2(-170+168) + 3(-136+140) = -11(2) - 2(-2) + 3(4) = -22 + 4 + 12 = -6$

(8) $\begin{vmatrix} -11 & 3 & 2 \\ -17 & 6 & 5 \\ -28 & 10 & 8 \end{vmatrix} = -11(48-50) - 3(-136+140) + 2(-170+168) = -11(-2) - 3(4) + 2(-2) = 22 - 12 - 4 = 6$

(9) $\begin{vmatrix} -28 & 8 & 10 \\ -11 & 2 & 3 \\ -17 & 5 & 6 \end{vmatrix} = -28(12-15) - 8(-66+51) + 10(-55+34) = -28(-3) - 8(-15) + 10(-21) = 84 + 120 - 210 = -6$

(10) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 4 & 5 & 7 \end{vmatrix} = 0$ (第2行と第3行が等しいので、行列式は0)

(11) $\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 4 & 5 & 7 \\ 104 & 205 & 307 \end{vmatrix} = 10 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 104 & 205 & 307 \end{vmatrix} = 10(1(5\cdot307 - 7\cdot205) - 2(4\cdot307 - 7\cdot104) + 3(4\cdot205 - 5\cdot104)) = 10(1(1535 - 1435) - 2(1228 - 728) + 3(820 - 520)) = 10(100 - 2(500) + 3(300)) = 10(100 - 1000 + 900) = 10(0) = 0$

(12) $\begin{vmatrix} \sin\theta & -\cos\theta & 0 \\ \cos\theta\sin\phi & \sin\theta\sin\phi & -\cos\phi \\ \cos\theta\cos\phi & \sin\theta\cos\phi & \sin\phi \end{vmatrix} = \sin\theta (\sin^2\phi\sin\theta + \cos^2\phi\sin\theta) + \cos\theta (\cos\theta\sin\phi\sin\phi + \cos\theta\cos^2\phi) = \sin\theta (\sin\theta(\sin^2\phi + \cos^2\phi)) + \cos\theta(\cos\theta(\sin^2\phi + \cos^2\phi)) = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

3. 最終的な答え

(1) 13

(2) -24

(3) 0

(4) 2

(5) -2

(6) 1

(7) -6

(8) 6

(9) -6

(10) 0

(11) 0

(12) 1