多項式 $P(x) = 4x^3 + 8x^2 + ax + b$ が与えられている。$P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $16$、$2x+3$ で割ると余りが $-4$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 4x^3 + 8x^2 + ax + b$ が与えられている。$P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $16$、$2x+3$ で割ると余りが $-4$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、以下の式が成り立つ。

$P(1) = 16$

$P(-\frac{3}{2}) = -4$

$P(1) = 4(1)^3 + 8(1)^2 + a(1) + b = 4 + 8 + a + b = 12 + a + b = 16$

より、

$a + b = 16 - 12 = 4$ ...(1)

$P(-\frac{3}{2}) = 4(-\frac{3}{2})^3 + 8(-\frac{3}{2})^2 + a(-\frac{3}{2}) + b = 4(-\frac{27}{8}) + 8(\frac{9}{4}) - \frac{3}{2}a + b = -\frac{27}{2} + 18 - \frac{3}{2}a + b = -\frac{27}{2} + \frac{36}{2} - \frac{3}{2}a + b = \frac{9}{2} - \frac{3}{2}a + b = -4$

$-\frac{3}{2}a + b = -4 - \frac{9}{2} = -\frac{8}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{17}{2}$ ...(2)

式 (2) の両辺に $2$ をかけると、

$-3a + 2b = -17$ ...(3)

式 (1) より、$b = 4 - a$ を式 (3) に代入すると、

$-3a + 2(4 - a) = -17$

$-3a + 8 - 2a = -17$

$-5a = -17 - 8 = -25$

$a = \frac{-25}{-5} = 5$

$b = 4 - a = 4 - 5 = -1$

3. 最終的な答え

$a = 5$

$b = -1$