与えられた式 $(a+b-1)(ab-a-b) + ab$ を展開し、整理して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-1)(ab-a-b) + ab$ を展開し、整理して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b-1)(ab-a-b)$ の部分を展開します。

$(a+b-1)(ab-a-b) = a(ab-a-b) + b(ab-a-b) - 1(ab-a-b)$

$= a^2b - a^2 - ab + ab^2 - ab - b^2 - ab + a + b$

$= a^2b - a^2 - 3ab + ab^2 - b^2 + a + b$

次に、この結果に $+ab$ を加えます。

$a^2b - a^2 - 3ab + ab^2 - b^2 + a + b + ab = a^2b - a^2 - 2ab + ab^2 - b^2 + a + b$

$= a^2b + ab^2 - a^2 - b^2 - 2ab + a + b$

$= ab(a+b) - (a^2 + 2ab + b^2) + a + b$

$= ab(a+b) - (a+b)^2 + (a+b)$

ここで、$a+b = x$ とおくと、

$abx - x^2 + x = x(ab - x + 1)$

$= (a+b)(ab - (a+b) + 1)$

$= (a+b)(ab - a - b + 1)$

元の式に戻って計算をやり直します。

$(a+b-1)(ab-a-b) + ab$

$= (a+b-1)(ab-(a+b)) + ab$

$= ab(a+b-1) - (a+b)(a+b-1) + ab$

$= ab(a+b) - ab - (a+b)^2 + (a+b) + ab$

$= a^2b + ab^2 - ab - (a^2 + 2ab + b^2) + a + b + ab$

$= a^2b + ab^2 - ab - a^2 - 2ab - b^2 + a + b + ab$

$= a^2b + ab^2 - a^2 - b^2 - 2ab + a + b$

$= ab(a+b) - (a^2 + 2ab + b^2) + (a+b)$

$= ab(a+b) - (a+b)^2 + (a+b)$

$= (a+b)(ab - (a+b) + 1)$

$= (a+b)(ab - a - b + 1)$

$= (a+b)(a(b-1) - (b-1))$

$= (a+b)(a-1)(b-1)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(a-1)(b-1)$