二次関数 $y = 2x^2 + 4ax$ (定義域 $0 \le x \le 2$) について、最小値とそのときの $x$ の値を求め、次に最大値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2x^2 + 4ax$ (定義域 $0 \le x \le 2$) について、最小値とそのときの $x$ の値を求め、次に最大値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4ax = 2(x^2 + 2ax)$

$y = 2(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) = 2((x+a)^2 - a^2)$

$y = 2(x+a)^2 - 2a^2$

したがって、頂点の座標は $(-a, -2a^2)$ となります。

(1) 最小値について

定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値を考えます。軸 $x = -a$ の位置によって場合分けが必要です。

* 場合1: $-a < 0$ すなわち $a > 0$ のとき

このとき、軸は定義域の左側にあります。したがって、$x=0$ で最小値をとります。

$x = 0$ を代入すると、$y = 2(0)^2 + 4a(0) = 0$。

最小値は $0$ ($x = 0$ のとき)。

* 場合2: $0 \le -a \le 2$ すなわち $-2 \le a \le 0$ のとき

このとき、軸は定義域内にあります。したがって、$x = -a$ で最小値をとります。

このときの最小値は、$y = -2a^2$。

* 場合3: $-a > 2$ すなわち $a < -2$ のとき

このとき、軸は定義域の右側にあります。したがって、$x=2$ で最小値をとります。

$x = 2$ を代入すると、$y = 2(2)^2 + 4a(2) = 8 + 8a$。

最小値は $8 + 8a$ ($x=2$のとき)。

(2) 最大値について

定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値を考えます。

$x=0$ のとき、$y = 0$

$x=2$ のとき、$y = 8 + 8a$

軸の位置によって場合分けする代わりに、端点の値を比較して考えます。

$y = 2(x+a)^2 - 2a^2$より

定義域の端点の値は$x=0$のとき$y=0$, $x=2$のとき$y=8+8a$となります。

* 場合1: $8+8a > 0$ すなわち $a > -1$のとき

最大値は $8+8a$ ($x=2$のとき)。

* 場合2: $8+8a < 0$ すなわち $a < -1$のとき

最大値は $0$ ($x=0$のとき)。

* 場合3: $8+8a = 0$ すなわち $a = -1$のとき

最大値は $0$ ($x=0$と$x=2$のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最小値

* $a>0$ のとき、最小値は$0$ ($x=0$)。

* $-2 \le a \le 0$ のとき、最小値は$-2a^2$ ($x=-a$)。

* $a<-2$ のとき、最小値は $8+8a$ ($x=2$)。

(2) 最大値

* $a > -1$ のとき、最大値は $8+8a$ ($x=2$)。

* $a \le -1$ のとき、最大値は $0$ ($x=0$)。