2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{4}{\alpha}, \frac{4}{\beta}$ を解に持つ、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{4}{\alpha}, \frac{4}{\beta}$ を解に持つ、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

$\alpha, \beta$ は $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の解なので、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = \frac{-(-4)}{2} = 2$

$\alpha\beta = \frac{1}{2}$

求める2次方程式の解は $\frac{4}{\alpha}, \frac{4}{\beta}$ なので、解と係数の関係の逆より、

和:

$\frac{4}{\alpha} + \frac{4}{\beta} = 4(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = 4(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}) = 4(\frac{2}{\frac{1}{2}}) = 4(4) = 16$

積:

$\frac{4}{\alpha} \cdot \frac{4}{\beta} = \frac{16}{\alpha\beta} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 32$

$x^2$の係数が1なので、求める2次方程式は

$x^2 - (\frac{4}{\alpha} + \frac{4}{\beta})x + \frac{4}{\alpha} \cdot \frac{4}{\beta} = 0$

$x^2 - 16x + 32 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 16x + 32 = 0$