2次関数 $y = 2x^2 + 4ax$ ($0 \leqq x \leqq 2$) について、最小値と最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 4ax$ ($0 \leqq x \leqq 2$) について、最小値と最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4ax = 2(x^2 + 2ax) = 2(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) = 2((x+a)^2 - a^2) = 2(x+a)^2 - 2a^2$

したがって、$y = 2(x+a)^2 - 2a^2$ となります。このグラフは、頂点が $(-a, -2a^2)$ の下に凸な放物線です。

定義域が $0 \leqq x \leqq 2$ であることに注意して、場合分けを行います。

(1) 最小値について

放物線の軸 $x = -a$ の位置によって場合分けします。

* -a < 0 つまり a > 0 のとき、x = 0 で最小値をとります。$y = 2(0)^2 + 4a(0) = 0$ となり、$x = 0$で最小値 $0$ をとります。

* 0 <= -a <= 2 つまり -2 <= a <= 0 のとき、x = -a で最小値をとります。$y = -2a^2$ となり、$x = -a$で最小値 $-2a^2$ をとります。

* -a > 2 つまり a < -2 のとき、x = 2 で最小値をとります。$y = 2(2)^2 + 4a(2) = 8 + 8a$ となり、$x = 2$で最小値 $8 + 8a$ をとります。

(2) 最大値について

同様に、放物線の軸 $x = -a$ の位置によって場合分けします。

* -a < 1 つまり a > -1 のとき、$x = 2$ で最大値をとります。$y = 2(2)^2 + 4a(2) = 8 + 8a$

* -a > 1 つまり a < -1 のとき、$x = 0$ で最大値をとります。$y = 2(0)^2 + 4a(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

* a > 0 のとき、x = 0 で最小値 0

* -2 <= a <= 0 のとき、x = -a で最小値 -2a^2

* a < -2 のとき、x = 2 で最小値 8 + 8a

(2) 最大値

* a > -1 のとき、x = 2 で最大値 8 + 8a

* a < -1 のとき、x = 0 で最大値 0