整式 $C = 2x^2 + xy - 6y^2 + 7x - 7y + 3$ が与えられています。まず $6y^2 + 7y - 3$ を因数分解し、その後 $C$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

整式 $C = 2x^2 + xy - 6y^2 + 7x - 7y + 3$ が与えられています。まず $6y^2 + 7y - 3$ を因数分解し、その後 $C$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$6y^2 + 7y - 3$ を因数分解します。

$6y^2 + 7y - 3 = (2y + 3)(3y - 1)$

次に、与えられた整式 $C$ を因数分解します。

$C = 2x^2 + xy - 6y^2 + 7x - 7y + 3$

$C = 2x^2 + (y + 7)x + (-6y^2 - 7y + 3)$

$C = 2x^2 + (y + 7)x - (6y^2 + 7y - 3)$

$C = 2x^2 + (y + 7)x - (2y + 3)(3y - 1)$

$C$ を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解できると仮定します。

$2x^2$ の項より、$a \cdot d = 2$ となります。

$x$ の項より、$af + cd = y + 7$ となります。

定数項より、$cf = - (2y + 3)(3y - 1)$ となります。

$a = 2$ , $d = 1$ と仮定すると、

$C = (2x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形になります。

すると、$AC = -6$, $AD = 3$, $BC = -1$を満たせばよい。

$AC = -6$ より、$2Cy+3C = xy -6y^2$

$2y + 3$ と $3y - 1$ の組み合わせを考えると、

$C = (2x + 3y - 1)(x - 2y + 3)$ となる可能性があります。

実際に展開してみると、

$(2x + 3y - 1)(x - 2y + 3) = 2x^2 - 4xy + 6x + 3xy - 6y^2 + 9y - x + 2y - 3$

$= 2x^2 - xy - 6y^2 + 5x + 11y - 3$

これは $C$ と一致しません。

次に、$C = (2x + 3y + A)(x - 2y + B)$ とおいて、$A, B$を求めると,

$C = 2x^2 - 4xy + 2Bx + 3xy - 6y^2 + 3By + Ax - 2Ay + AB$

$C = 2x^2 + (3y-4y)xy - 6y^2 + (2B+A)x + (3B-2A)y + AB$

$C = 2x^2 + xy - 6y^2 + 7x - 7y + 3$と比較すると、

$2B+A = 7$

$3B-2A = -7$

$AB = 3$

この連立方程式を解くと,

$2*(2B+A)+3B-2A = 2*7 -7$

$4B+2A+3B-2A = 14-7$

$7B = 7$

$B = 1$

$A = 7 - 2B = 7 - 2 = 5$

$AB = 5$, これは矛盾します。

したがって, 先程の$A,B$を求める方針は誤りです。

正しくは、 $C = (2x + Ay + B)(x + Cy + D)$

$2x^2 + xy - 6y^2 + 7x - 7y + 3 = (2x + 3y - 1)(x - 2y + 3)$

が近いので、$(2x - 3y + A)(x + 2y + B)$ を試します。

$(2x + 3y + 1)(x - 2y + 3)$

$(2x - 3y -1)(x + 2y -3)$ を試します。

$C = (2x -3y + 1)(x + 2y + 3)$ となります。

$C = 2x^2 + 4xy + 6x -3xy -6y^2 -9y + x + 2y + 3$

$C = 2x^2 + xy - 6y^2 + 7x - 7y + 3$

これは与えられたCに一致します。

$6y^2 + 7y - 3 = (2y + 3)(3y - 1)$

3. 最終的な答え

$6y^2 + 7y - 3 = (2y + 3)(3y - 1)$

$C = (2x - 3y + 1)(x + 2y + 3)$

よって、

カ = 2, キ = 3, ク = 3, ケ = 1

コ = 2, サ = 3, シ = 1, ス = 2, セ = 3